Question

在平面直角坐標上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n）…，對一切正整數n，點P_n在函數
y=3x+

13

4

的圖象上，且P_n的橫坐標構成以-

5

2

為首項，-1為公差的等差數列{x_n}．
（Ⅰ）求點P_n的坐標；
（Ⅱ）設拋物線列C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，n²+1），記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為K_n，求

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

knkn+1

的值．

Answer 1

分析：（I）根據等差數列的通項公式可求得x_n，進而代入直線方程求得y_n，則點P的坐標可得．
（II）先設出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

解答：解：（1）∵xn=-

5

2

+(n-1)×(-1)=-n-

3

2

，
∴yn=3xn+

13

4

=-3n-

5

4

．
∴Pn(-n-

3

2

，-3n-

5

4

)．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設C_n的方程為 y=a(x+

2n+3

2

)2-

12n+5

4

．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

(2n+1)

-

1

(2n+3)

]，
∴

1

k1k2

+

1

k2k3

+

1

kn-1kn

=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

1

10

-

1

4n+6

．

點評：求數列的前n項和的問題，一般先求出數列的通項公式，根據通項公式的特點，選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．