Question

【題目】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

Answer 1

【答案】（1）在平面內，AB⊥AD，，則.∵平面ABC，平面ABC，∴EF∥平面ABC.

（2）∵BC⊥BD，平面平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，平面BCD，∴平面.∵平面，∴.∵AB⊥AD，平面ABC，，∴AD⊥平面ABC，又AC平面ABC，∴AD⊥AC.

【解析】

證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.

又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因為平面ABD⊥平面BCD，

平面平面BCD=BD，

平面BCD，，

所以平面.

因為平面，所以.

又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因為AC平面ABC，

所以AD⊥AC.