Question

【題目】已知a為實數，p：點M（1，1）在圓（x+a）2+（y﹣a）2=4的內部； q：x∈R，都有x2+ax+1≥0．
（1）若p為真命題，求a的取值范圍；
（2）若q為假命題，求a的取值范圍；
（3）若“p且q”為假命題，且“p或q”為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵p：點M（1，1）在圓（x+a）2+（y﹣a）2=4的內部
∴（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，
故p為真命題時a的取值范圍為（﹣1，1）．
（2）∵q：x∈R，都有x2+ax+1≥0
∴若q為真命題，則△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，
故q為假命題時a的取值范圍（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
（3）∵“p且q”為假命題，且“p或q”為真命題
∴p與q一真一假，從而
①當p真q假時有，無解；
②當p假q真時有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．
∴實數a的取值范圍是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．
【解析】對于命題p為真，要利用點與圓的位置關系；對于命題q為真，要利用一元二次函數圖象的特點，最后利用復合命題真假解決．
【考點精析】利用復合命題和復合命題的真假對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知由簡單命題和邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題;構成復合命題的形式：p或q(記作“p∨q” )；p且q(記作“p∧q” )；非p(記作“┑q” )；“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．