Question

【題目】已知函數f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）為偶函數．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log4（a2x﹣a）有且只有一個根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I） 由題意得f（﹣x）=f（x），
即，
化簡得=2kx，
從而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k=-
（II）由題意，原方程化為且a2x﹣a＞0
即：令2x=t＞0
函數y=（1﹣a）t2+at+1的圖象過定點（0，1），（1，2）如圖所示：
若方程（1）僅有一正根，只有如圖的三種情況，
可見：a＞1，即二次函數y=（1﹣a）t2+at+1的
開口向下都可，且該正根都大于1，滿足不等式（2），
當二次函數y=（1﹣a）t2+at+1的開口向上，
只能是與x軸相切的時候，
此時a＜1且△=0，即a=-2-2也滿足不等式（2）
綜上：a＞1或a=-2-2

【解析】（Ⅰ）根據偶函數可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根據方程有且只有一個實根，化簡可得有且只有一個實根，令t=2x＞0，則轉化成新方程有且只有一個正根，結合函數的圖象討論a的取值，即可求出實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．