Question

【題目】圓心在原點的兩圓半徑分別為，點是大圓上一動點，過點作軸的垂線，垂足為， 與小圓交于點，過作的垂線，垂足為，設點坐標為.

（1）求的軌跡方程；

（2） 已知直線： （是常數，且， ， 是軌跡上的兩點，且在直線的兩側，滿足兩點到直線的距離相等.平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出定點坐標；若不可能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】試題分析： 求出， 的坐標，根據、、三點共線，算出的軌跡方程；

設點的坐標，代入橢圓方程，點差法算出，代入到的中點和坐標，可以得到，整理即可計算出結果

解析：（1）依題意可得、，

又、、三點共線，可得，

整理得，即，

的軌跡是以為半長軸， 為半短軸，焦點在軸的橢圓.

（2）由題意可知、的中點在直線： 上，

設、、， ，

又、在橢圓上，有

，

可得.

又， ，

∴， ，

∵，∴是等腰三角形，∴.

即恒成立，

整理得，關于恒成立，

∴ ，

∴存在滿足題意.