Question

【題目】若是遞增數列，數列滿足：對任意，存在，使得，則稱是的“分隔數列”.

（1）設，證明：數列是的分隔數列；

（2）設是的前n項和，，判斷數列是否是數列的分隔數列，并說明理由；

（3）設是的前n項和，若數列是的分隔數列，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）數列不是數列的分隔數列；（3）.

【解析】

（1）由新定義，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得證；

（2）運用等差數列的求和公式，結合新定義，即可判斷；

（3）討論a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，結合新定義，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范圍．

（1）∵{cn}是遞增數列，數列{an}滿足：對任意n∈N*，存在m∈N*，使得，

∴cn≤am＜cn+1，

∵cn＝2n，am＝m+1，

∴2n≤m+1＜2n+2，

∴2n﹣1＜m≤2n+1，

∴m＝2n，

∴對任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，則稱{an}是{cn}的“分隔數列；

（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n項和，dn＝c3n﹣2，

∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，

∴d1＝﹣3，

∴Sn＝＝n（n﹣7），

若數列{Sn}是數列{dn}的分隔數列，

∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，

即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），

由于n＝4時，12≤m（m﹣7）＜18，

不存在自然數m，使得不等式成立，

∴數列{Sn}不是數列{dn}的分隔數列；

（3）設，Tn是{cn}的前n項和，

∵數列{Tn}是{cn}的分隔數列，

則{cn}為遞增，

當a＞0時，q＞1，

∴aqn﹣1≤＜aqn，

即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），

當1＜q＜2時，數列最小項可以得到m不存在；

q＞2時，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；

qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2時，q2﹣1＜q2（q﹣1），

解得q＞2，對n＞3也成立；

當a＜0時，0＜q＜1時，

aqn﹣1≤＜aqn，

即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），

取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，

1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，

則a＜0，0＜q＜1不成立，

綜上可得，a＞0，q＞2．