Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調性；

(2)若函數存在極大值，且極大值為1，證明：.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【試題分析】(1)當時,,故函數在上單調遞增.當或時,利用導數求得函數的單調區間.(2) 由（Ⅰ）可知若函數存在極大值，則，且，解得， 由此求得函數的表達式.將所要證明的不等式轉化為證.構造函數,利用二階導數求得函數的最小值大于或等于零.

【試題解析】

（Ⅰ）由題意，

當時，，函數在上單調遞增；

當時，函數單調遞增，，故當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，函數在上單調遞增；

當時，函數單調遞減，，故當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，函數在上單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函數存在極大值，則，且，解得， 故此時，

要證，只須證，及證即可，

設，．

，令

，所以函數單調遞增，

又，，

故在上存在唯一零點，即．

所以當，， 當時，，所以函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，

故，

所以只須證即可，

由，得，

所以，又，所以只要即可，

當時，

所以 與矛盾，

故，得證．

（另證）

當時，

所以 與矛盾；

當時，

所以 與矛盾；

當時，

得，故 成立，

得，所以，即．