Question

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數，g（x）≠0，

f(x)

g(x)

=

a

x

，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若數列{

f(n)

g(n)

}的前n項和大于62，則n的最小值為（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

Answer 1

分析：根據導數不等式可知函數

f(x)

g(x)

的單調性，從而確定a的取值范圍，然后根據條件求出a的值，從而可判定數列{

f(n)

g(n)

}是等比數列，可求出其前n項和，然后求出滿足條件的n，由此可得答案．

解答：解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，即

f(x)

g(x)

單調遞增，
又

f(x)

g(x)

=a^x，故a＞1．
所以由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a^-1=

5

2

，解得a=2．
所以數列{

f(n)

g(n)

}是以2為首項，2為公比的等比數列，其前n項和Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），
由Sn＞62即2（2ⁿ-1）＞62，解得n≥6，
所以n的最小值為6．
故選A．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及等比數列的前n項和，同時考查了運算求解能力，考查計算能力和轉化得思想，屬于基礎題．