Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=a^x•g（x），（a＞0且a≠1）

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，令a_n=

f(n)

g(n)

，則使數列{a_n}的前n項和S_n超過

15

16

的最小自然數n的值為

 

．

Answer 1

分析：因為f（x）=a^xg（x），所以

f(x)

g(x)

=a^x，則

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=

1

a

而

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到a的方程解出為a的值，則數列{a_n}的通項就寫出來了，根據數列{a_n}的前n項和S_n超過

15

16

列出關于n的不等式即可求解

解答：解：因為f（x）=a^xg（x），所以

f(x)

g(x)

=a^x，
則

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=

1

a

而

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到a+

1

a

=

5

2

，解得a=2或a=

1

2

，
由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）知a=2舍去，所以a=

1

2

；
則

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x所以數列{

f(n)

g(n)

}的通項為t_n=(

1

2

)n
所以S_n=

1 2 ×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1- (

1

2

)n
即1-(

1

2

)n＞

15

16

n＞4
故n的最小值為：5
故答案為 5

點評：考查學生掌握數列求和的能力及函數的求導運算法則，此題關鍵在于根據導函數與函數單調性間的關系，判定出原函數的單調性，從而得到a的值，屬于基礎題．