Question

有以下真命題：設，，…，是公差為d的等差數列{a_n}中的任意m個項，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，則有②，特別地，當r=0時，稱a_p為，，…，的等差平均項．
（1）當m=2，r=0時，試寫出與上述命題中的（1），（2）兩式相對應的等式；
（2）已知等差數列{a_n}的通項公式為a_n=2n，試根據上述命題求a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項；
（3）試將上述真命題推廣到各項為正實數的等比數列中，寫出相應的真命題．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=2，r=0時，，可化為，可化為；
（2）由等差數列{a_n}的通項公式為a_n=2n，可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的值，代入公式可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項；
（3）根據等比數列運算級比等差數列高的一般性質規律，可以類比推斷出設，，…，是公比為q的等比數列{a_n}中的任意m個項，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，則有 ②，特別地，當r=0時，稱a_p為，，…，的等比平均項．
解答：解：（1）∵若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
則有②，
又∵當m=2，r=0時，
，可化為，
可化為；
故原命題可化為：若，則．
（2）∵a_n=2n，
∴a₁=2，a₃=6，a₁₀=20，a₁₈=36．
∵，
∴．
（3）由設，，…，是公差為d的等差數列{a_n}中的任意m個項，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
則有②，
特別地，當r=0時，稱a_p為，，…，的等差平均項．
根據等比數列運算級比等差數列高的一般性質規律，可以類比推斷出以下真命題：
設，，…，是公比為q的等比數列{a_n}中的任意m個項，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，
則有 ②，
特別地，當r=0時，稱a_p為，，…，的等比平均項．
點評：本題考查的知識點是類比推理，等差數列的性質，其中正確理解新定義等差平均項的含義，及等差數列到等比數列的類比法則是解答本題的關鍵．