Question

如圖，正三棱柱的底面邊長是，側棱長是，是的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析，（2），（3）.

試題分析：（1）線面平行判定定理，關鍵找線線平行.利用三角形中位線性質找平行，取的中點，則是三角形的中位線，即∥．應用定理證明時，需寫出定理所需條件.（2）利用空間向量求二面角的大小，關鍵求出平面的法向量.平面的一個法向量為,而平面的法向量則需列方程組解出.根據向量的數量積求出兩向量夾角，再根據向量夾角與二面角的大小關系，求出結果.一般根據圖像判定所求二面角是銳角還是鈍角.（3）存在性問題，從假定存在出發，利用面面垂直列等量關系.在（2）中已求出平面的法向量，因此只需用點坐標表示平面的法向量即可.解題結果需注意點在線段上這一限制條件.
試題解析：

（1）證明：連結交于，連結，
因為三棱柱是正三棱柱，
所以四邊形是矩形，
所以為的中點．
因為是的中點，
所以是三角形的中位線，             2分
所以∥．                           3分
因為平面，平面，
所以∥平面．                      4分

（2）解：作于，所以平面，
所以在正三棱柱中如圖建立空間直角坐標系．
因為，，是的中點．
所以，，，， 5分
所以，，
．
設是平面的法向量，
所以即
令，則，，
所以是平面的一個法向量．             6分
由題意可知是平面的一個法向量，      7分
所以．                            8分
所以二面角的大小為．                         9分
（3）設，則，
設平面的法向量，
所以即
令，則，，
，                                12分
又，即，解得，
所以存在點，使得平面平面且．   14分