Question

【題目】已知是單調減函數，若將方程與的解分別稱為函數的不動點與穩定點．則“是的不動點”是“是的穩定點”的 （　　）

A．充要條件　　　　　　　 B．充分不必要條件　　

C．必要不充分條件　　　 　 D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】B

【解析】欲判斷”x是f（x）的不動點”是“x是f（x）的穩定點”的什么條件，只須從兩個方面考慮：一方面：若x是f（x）的不動點，看能不能推出“x是f（x）的穩定點“；另一方面：”x是f（x）的穩定點“能不能推出“x是f（x）的不動點“．

解：一方面：若x是f（x）的不動點，
則f（x）=x，即函數y=f（x）與直線y=x的交點的橫坐標為x，
因為原函數與反函數的圖象一定要關于直線y=x對稱，
故反函數的圖象一定要過函數y=f（x）與直線y=x的橫坐標為x交點，
即f（x）=f-1（x）的解是x，
故”x是f（x）的不動點“x是f（x）的穩定點“；
另一方面：x是f（x）的穩定點，
即f（x）=f-1（x），即函數y=f（x）與y=f-1（x）的交點的橫坐標為x，
因為原函數與反函數的圖象的交點不一定在直線y=x上，
故原函數的圖象不一定要過函數y=f（x）與反函數的圖象的交點，
即x不一定是方程f（x）=f-1（x）的解
故”x是f（x）的穩定點“不能”x是f（x）的不動點“
則x“是f（x）的不動點”是“x是f（x）的穩定點”的“充分不必要條件．
故選B．