Question

【題目】已知函數

(1)當時，討論函數零點的個數；

(2)若，當=1時，求證：

Answer 1

【答案】(1) 當 時，函數有兩個不同的零點；當 時，函數有且僅有一個零點；當， 函數沒有零點.

(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對進行化簡，構造函數，研究函數h（x）的單調性和最值，即可確定F（x）=f（x）﹣xlnx在定義域內是否存在零點；（2）由（Ⅰ）知，當a=1時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，要證明f（g（x））＜f（x），只要證明g（x）＜x即可．

詳解：

（1）函數 的定義域為

由 得

令 則

由于 ，可知當 當 時

故函數在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，

故，又

當 時，函數有兩個不同的零點；

當 時，函數有且僅有一個零點；

當， 函數沒有零點.

（2）函數定義域為 時，

由 得：

時，在上單調遞增，且故對任意

所以，要證明，只需證：

只需證：

即證：

即證；

所以，要證明；

令 則

故函數在上單調遞增；，