Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）設，若對任意的，存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，得出的解析式，求切線方程，即先求在處的值為切線的斜率，由點斜式求出切線方程即可；（Ⅱ）將題意等價于在區間上， 的最大值大于或等于的最大值”利用單調性可求出在上的最大值，在利用分類討論的思想分為， ， 三種情形，求出其最大值，再進行比較即可.

試題解析：解：（Ⅰ）當時，因為，

所以， ．

又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即．

（Ⅱ）“對任意的，存在使得成立”等價于“在區間上， 的最大值大于或等于的最大值”．

因為，所以在上的最大值為．

令，得或．

① 當，即時，

在上恒成立，在上為單調遞增函數，

的最大值為,

由，得．

② 當，即時，

當時， ， 為單調遞減函數，

當時， ， 為單調遞增函數．

所以的最大值為或,

由，得；由，得．

又因為，所以．

③ 當，即時，

在上恒成立， 在上為單調遞減函數，

的最大值為，由，得，

又因為，所以．

綜上所述，實數的值范圍是或．