Question

【題目】如圖，F1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+

Answer 1

【答案】D
【解析】解：連結AF1，

∵F1F2是圓O的直徑，

∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，

又∵△F2AB是等邊三角形，F1F2⊥AB，

∴∠AF2F1= ∠AF2B=30°，

因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|= |F1F2|=c，

|F2A|= |F1F2|= c．

根據雙曲線的定義，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（ ﹣1）c，

解得c=（ +1）a，

∴雙曲線的離心率為e= = +1．

故選D．