Question

已知函數f(x)=2kx2+kx-

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8

．
（1）若f（x）有零點，求k的取值范圍；
（2）若f（x）＜0對一切x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）k=0時，f（x）=-

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，無零點，
∴k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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為二次函數．
∵f（x）=2kx²+kx-

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有零點，
∴二次方程2kx²+kx-

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=0有實數根，
∴△=k²-4×2k×（-

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）=k²+3k≥0，又k≠0，
解得：k＞0或k≤-3．
即k的取值范圍為（-∞，-3]∪（0，+∞）．
（2）當k=0時，f（x）=-

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＜0對一切x∈R都成立，故k=0時符合題意；
當k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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為二次函數，
要使f（x）＜0對一切x∈R都成立，
必須滿足

2k＜0 △=k2+3k＜0

，
解得：-3＜k＜0；
綜上所述，f（x）＜0對一切x∈R都成立時k的取值范圍為（-3，0]．