Question

【題目】已知橢圓：過點，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.

（1）證明：當取得最小值時，橢圓的離心率為.

（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.

（2）當直線的斜率不存在時，根據橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當直線的斜率存在時，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關系式，進而求得到直線的距離.根據上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.

（1）證明：∵橢圓經過點，∴，

∴，

當且僅當，即時，等號成立，

此時橢圓的離心率.

（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.

當直線的斜率不存在時，由對稱性，設，.

∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.

當直線的斜率存在時，設的方程為.

由，得，

.

設，，則，.

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴到直線的距離.

綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.