Question

【題目】設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，f′（x），g'（x）為其導函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，則使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（﹣∞,﹣3）B.（﹣3,0）C.（0,3）D.（3,+∞）

Answer 1

【答案】BD

【解析】

由當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0可得，故可構造函數h（x）＝f（x）g（x），由f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以h（x）在R上單調遞減且為奇函數，結合圖像即可得解.

∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），

令h（x）＝f（x）g（x），

則h（﹣x）＝﹣h（x），

故h（x）＝f（x）g（x）為R上的奇函數，

∵當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，

即x＜0時，h′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，

∴h（x）＝f（x）g（x）在區間（﹣∞，0）上單調遞減，

∴奇函數h（x）在區間（0，+∞）上也單調遞減，

如圖：

由g（﹣3）＝0，

∴h（﹣3）＝h（3）＝0，

∴當x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）時，h（x）＝f（x）g（x）＜0，

故選：BD.