Question

定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數”為（n∈N^*）．
（1）若數列{a_n}前n項的“倒平均數”為，求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足：當n為奇數時，b_n=1，當n為偶數時，b_n=2．若T_n為{b_n}前n項的倒平均數，求；
（3）設函數f（x）=-x²+4x，對（1）中的數列{a_n}，是否存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實數λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，由題意，，所以．由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）設數列{b_n}的前n項和為S_n，則分n為偶數和n為奇數時，分別求出S_n，從而求出T_n．由此能求出．
（3）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）對任意n∈N^*恒成立，則-x²+4x≤對任意n∈N^*恒成立，令，則數列{c_n}是遞增數列，由此能推導出存在最大的實數λ=1，使得當x≤λ時，f（x）對任意n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，
由題意，，
所以．  …（1分）
所以a₁=S₁=6，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也滿足此式．…（2分）
所以{a_n}的通項公式為a_n=4n+2．…（1分）
（2）設數列{b_n}的前n項和為S_n，則當n為偶數時，，…（1分）
當n為奇數時，．  …（1分）
所以．   …（3分）
所以． …（2分）
（3）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）對任意n∈N^*恒成立，
則-x²+4x≤對任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令，因為，
所以數列{c_n}是遞增數列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的實數λ=1，
使得當x≤λ時，f（x）對任意n∈N^*恒成立．（2分）
點評：本題考查數列的通項公式、極限的求法，探索實數是否存在．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答．