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在(x2+x+1)n=

x2n+

x2n-1+

x2n-2+…+

2n-1

的展開式中，把

，

，…，

叫做三項式的n次系數列．
（1）寫出三項式的2次系數列和3次系數列；
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），用三項式的n次系數表示

n+1

，

n+1

，

k+1

n+1

（1≤k≤2n-1）；
（3）用二項式系數表示

．

分析：（1）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系數列．同理根據（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系數列．
（2）如圖所示：根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，可得結論．
（3）根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，再利用組合數公式的性質，可用二項式系數表示

．

解答：解：（1）在( x2+x+1 )n=

x2 n+

x2 n-1+

x2 n-2+…+

2 n-1

2 n

的展開式中，
∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴

=1 ，

=2 ，

=3 ，

=2 ，

=1．
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴

=1 ，

=3 ，

=6 ，

=7 ，

=6 ，

=3 ，

=1．
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N）：

				1
			1	1	1
		1	2	3	2	1
	1	3	6	7	6	3	1
1	4	10	16	19	16	10	4	1

n+1

=0 ，

n+1

=n+1 ，

k+1

n+1

k-1

k+1

( 1≤k≤2 n-1 )．
（3）用二項式系數表示

：

=1 ，

=3=

，

=6=

=10=

， …
可得

n-1

n-2

=1+n-2+

n-1

．
∵

n-1

，
∴

n-1

-1=

n+1

-1．
∵

-1，

-1，… ，

n-1

n+1

-1，
∴

+…+

n+1

-( n-2 )
=(

)+(

)+…+(

n+2

n+1

)-( n-2 )=

n+2

-( n-2 )
=

n+2

-( n+2 )．
∴

n+2

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，組合數的計算公式的應用，屬于中檔題．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列選項中正確的是（　　）

A、命題p：?x₀∈R，tanx₀=1；命題q：?x∈R，x²-x+1＞0，則命題“p∧?q”是真命題

B、集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，則M∩N={x|-2＜x＜3}

C、命題“若x²-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x²-3x+2≠0”

D、函數f（x）=x²+2（m-2）x+4在[1，+∞）上為增函數，則m的取值范圍是m＜1

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c （c是常數）；
②對于D內任意x₂，當x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c稱f（x）為“平底型”函數．
（1）（理）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（文）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）（理）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（文）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數，求m和n滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點間的距離d滿足：

＜d＜3；
（Ⅱ）設f（x）在x=

t+1

（t＞0，t≠1）處取得最小值，且對任意實數x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若數列{c_n}的前n項和為b_n，求{c_n}的通項公式．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在(x2+x+1)n=

x2n+

x2n-1+

x2n-2+…+

2n-1n

2nn

的展開式中，把

，

，…，

2nn

叫做三項式的n次系數列．
（1）寫出三項式的2次系數列和3次系數列；
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），用三項式的n次系數表示

0n+1

，

1n+1

，

k+1n+1

（1≤k≤2n-1）；
（3）用二項式系數表示

．

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