Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面積為2，求b＋c．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.

【解析】

試題(Ⅰ) 對于2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC通過三角恒等變換，再結合角的范圍即可得；(Ⅱ)利用余弦定理、面積公式可求.

試題解析：(Ⅰ) 由2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC，得

2(cosBcosC＋sinBsinC)＋1＝4cosBcosC，

即2(cosBcosC－sinBsinC)＝1，亦即2cos(B＋C)＝1，

∴cos(B＋C)＝． ∵0＜B＋C＜π，∴B＋C＝．

∵A＋B＋C＝π， ∴A＝． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），得A＝．

由S△ABC＝2，得bcsin＝2，∴bc＝8． ①

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

(2)2＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2＋bc＝28，

∴(b＋c)2－bc＝28． ②

將①代入②，得(b＋c)2－8＝28，

∴b＋c＝6． 12分