Question

P，Q，M，N四點都在橢圓上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件可知MN⊥PQ．設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，MN的方程為y=1，PQ的方程為x=0，由題設條件能夠推出四邊形PMQN的面積為，|MN|•|PQ|=××2=2．當MN，PQ都不與坐標軸垂直時，根據題設條件能夠推導出，|PQ|=，所以S_{四邊形PMQN}=|MN|•|PQ|=，由此入手結合題設條件能夠導出（S_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=．
解答：解：∵．即MN⊥PQ．
當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸．
不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，
∵F（0，1）
∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0
分別代入橢圓中得：|MN|=，|PQ|=2．
S_{四邊形PMQN}=|MN|•|PQ|=××2=2
當MN，PQ都不與坐標軸垂直時，
設MN的方程為y=kx+1（k≠0），
代入橢圓中得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=
∴
同理可得：|PQ|=，
S_{四邊形PMQN}=|MN|•|PQ|==
（當且僅當即k=±1時，取等號）．
又S_{四邊形PMQN}=，∴此時S_{四邊形PMQN}＜2．
綜上可知：（S_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，解題昌要認真審題，仔細解答，避免錯誤．