Question

P、Q、M、N四點都在中心為坐標原點，離心率e=

2

2

，左焦點F（-1，0）的橢圓上，已知

PF

 與 

FQ

 共線， 

MF

與

FN

 共線，

PF

•

MF

=0，求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件求出橢圓方程，再設(shè)PQ的方程為ky=x+1，聯(lián)立橢圓方程以及弦長公式求出|PQ|的長，當k≠0時，同樣的方法求出MN的長；直接代入對角線互相垂直的四邊形的面積計算公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出面積的取值范圍； 當k=0時，面積為定值；綜合即可得到結(jié)論．

解答：解：橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
∵

PF

•

MF

=0，PQ⊥MN．
設(shè)PQ的方程為ky=x+1，代入橢圓方程消去x得（2+k²）y²-2ky-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
則|PQ|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+k2

( 2k 2+k2 )2+4 1 2+k2

=

2 2 (1+k2)

2+k2

．
（Ⅰ）當k≠0時，MN的斜率為-

1

k

，同理可得|MN|=

2 2 (1+ 1 k2 )

2+ 1 k2

，
故四邊形面積S=

1

2

|PQ||MN|=

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

．
令u=k2+

1

k2

，則u≥2，即S=

4(2+u)

5+2u

=2(1-

1

5+2u

)
當k=±1時，u=2，S=

16

9

．且S是以u為自變量的增函數(shù)，
∴

16

9

≤S＜2．
（Ⅱ） 當k=0時，MN為橢圓的長軸，|MN|=2

2

，|PQ|=

2

，S=

1

2

|PQ||MN|=2
綜合（Ⅰ） （Ⅱ）知，四邊形PQMN面積的最大值為2，最小值為

16

9

．

點評：本題主要考查橢圓與直線的位置關(guān)系．在求直線與圓錐曲線的綜合問題時，一般是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，再結(jié)合韋達定理，弦長公式等來解題．