Question

若數(shù)列1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…，前100項(xiàng)之和為0，則θ的值是（　�。�

• A．kπ±

  π

  3

  (k∈Z)
• B．2kπ±

  π

  3

  (k∈Z)
• C．2kπ±

  2π

  3

  (k∈Z)
• D．以上答案均不對(duì)

Answer 1

分析：由題意可得，1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求，S₁₀₀=1+2cosθ+（2cosθ）²+…+（2cosθ）⁹⁹，從而可求θ

解答：解：∵1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2cosθ
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，
S₁₀₀=1+2cosθ+（2cosθ）²+…+（2cosθ）⁹⁹
=

1-(2cosθ)100

1-2cosθ

=0
由題意可得，

(2cosθ)100-1=0 1-2cosθ=0

∴2cosθ=-1 即cosθ=-

1

2

∴θ=2kπ±

2π

3

，k∈Z
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式在求解數(shù)列中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求和后，要能利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．