Question

（本題滿分14分
已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，
橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
⑴求橢圓C的方程；
⑵設，、是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓
于另一點，求直線的斜率的取值范圍；
⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點．

Answer 1

⑴；
⑵或；
⑶見解析

本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯立，結合韋達定理求解
（1）根據橢圓的性質，離心率得到參數a,c的關系，然后利用線與圓相切得到參數b的值，進而得到橢圓的方程。
（2）設出直線與橢圓的方程聯立方程組，結合韋達定理，和判別式大于零得到直線的斜率的范圍。
（3）表示直線ME的方程，以及結合點的坐標的對稱關系，得到k的關系式，進而得到直線與軸相交于定點
解:⑴由題意知，
所以，即，
又因為，所以，
故橢圓的方程為：．-----------4分
⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為  ①
聯立消去得：，
由得，
又不合題意，
所以直線的斜率的取值范圍是或．---8分
⑶設點，則，
直線的方程為，
令，得，
將代入整理，得．     ②
由得①代入②整理，得，
所以直線與軸相交于定點．         ----------------14分