Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的側面PAD是正三角形，底面ABCD為菱形，A點E為AD的中點，若BE=PE．

（1）求證：PB⊥BC；
（2）若∠PEB=120°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由BE=PE，AB=PA，AE=AE，得△AEP≌△AEB，

∴∠EAB=60°，且AD⊥BE，

又∵AD⊥PE，

∴AD⊥平面PBE，

∵PB平面PBE，得AD⊥PB，

又AD∥BC，

∴PB⊥BC．

（2）解：如圖，過P作PO⊥平面ABCD，交BE延長線于O，

以O為坐標原點，過O作DA的平行線為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

P（0，0， ），B（0， ，0），PB的中占點G（0， ， ），連結AG，

又A（1， ，0），C（﹣2， ，0），由此得到 =（1，﹣ ，﹣ ），

=（0， ）， =（﹣2，0，0），

∴ =0， =0，

∴ ， ，

∵ 的夾角為θ等于所求二面角二面角A﹣PB﹣C的平面角，

∴cos = =﹣ ．

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導出∠EAB=60°，且AD⊥BE，AD⊥PE，從而AD⊥平面PBE，進而AD⊥PB，由此能證明PB⊥BC．（2）過P作PO⊥平面ABCD，交BE延長線于O，以O為坐標原點，過O作DA的平行線為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．