Question

已知函數，．
（1）當時，求的單調區間；
（2）已知點和函數圖象上動點，對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）

試題分析：（1）先求導，再令導數等于0，解導數大于0得函數的增區間，解導數小于0得函數的減區間。（2）可將問題轉化為在上恒成立問題，即在上。先求導，因為，故可只討論分子的正負問題，不妨令，討論在區間上的正負問題，同時注意對的討論。根據導數正得增區間導數負得減區間，再根據函數的單調性求函數的最值。
解：⑴ 當時，，定義域為，


所以當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
⑵ 因為對任意，直線的傾斜角都是鈍角，
所以對任意，直線的斜率小于0，即，，
即在區間上的最大值小于1，
，．
令
①當時，在上單調遞減， ，顯然成立，所以．
②當時，二次函數的圖象開口向下，
且，，
，，故，在上單調遞減，
故在上單調遞減，，顯然成立，所以．
⑶ 當時，二次函數的圖象開口向上，且，．
所以，當時，． 當時，．
所以在區間內先遞減再遞增．
故在區間上的最大值只能是或．
所以 即所以．
綜上．