Question

【題目】已知函數f（x）=（1-2x）（x2-2）．

（1）求f（x）的單調區間和極值；

（2）若直線y=4x+b是函數y=f（x）圖象的一條切線，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調遞增區間為（-，1），單調遞減區間為（-，-），（1，+），

極小值為f（-）=-，極大值為f（1）=1．（2）b=-2或-

【解析】分析：（1）求出導函數f'（x）=-6x2+2x+4．令f'（x）= 0，求出極值點，列出表格即可求得單調區間和極值。

（2）設出切點，根據切點既在直線上又在導函數上，可求得切點的坐標；代入直線方程即可求出b的值。

詳解：（1）因為f'（x）=-2（x2-2）+（1-2x）·2x=-6x2+2x+4．

令f'（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1．

x	（-,-）	-	（-,1）	1	（1,+）
f'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以f（x）的單調遞增區間為（-，1），單調遞減區間為（-，-），（1，+），

極小值為f（-）=-，極大值為f（1）=1．

（2）因為f'（x）=-6x2+2x+4，

直線y=4x+b是f（x）的切線，設切點為（x0，f（x0）），

貝f'（x0）=-6x+2x0+4=4，

解得x0=0或x0=．

當x0=0時，f（x0）=-2，代入直線方程得b=-2，

當x0=時，f（x0）=-，代入直線方程得b=-．

所以b=-2或-．