Question

【題目】如圖，已知動直線l過點 ，且與圓O：x2+y2=1交于A、B兩點．
（1）若直線l的斜率為 ，求△OAB的面積；
（2）若直線l的斜率為0，點C是圓O上任意一點，求CA2+CB2的取值范圍；
（3）是否存在一個定點Q（不同于點P），對于任意不與y軸重合的直線l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為直線l的斜率為 ，所以直線l ，

則點O到直線l的距離 ，

所以弦AB的長度 ，

所以

（2）解：因為直線l的斜率為0，所以可知 、

設點C（x，y），則x2+y2=1，

又 ，

所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，

所以CA2+CB2的取值范圍是[2，6]

（3）解：法一：若存在，則根據對稱性可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直線l不與y軸重合，設直線l ，

代入圓O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的定義，AQ與BQ的斜率互為相反數

有 ，又 ， ，

化簡可得 ，

代入（*）式得 ，因為直線l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

解法二：若存在，則根據對稱性可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直線l不與y軸重合，設直線l ，

代入圓O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的幾何意義，點A到y軸的距離d1，點B到y軸的距離d2滿足 ，即 ，

化簡可得 ，

代入（*）式得 ，因為直線l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

【解析】（1）因為直線l的斜率為 ，所以直線l ，利用弦長、半徑、弦心距的關系，求得弦長及△OAB的高，即可求出面積．（2）因為直線l的斜率為0，所以可知 、 ，設點C（x，y），則x2+y2=1，又 =4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，即可得CA2+CB2的取值范圍．（3）法一：若存在，則根據對稱性可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），因直線l不與y軸重合，設直線l ，代入圓O得 ，所以 （*）由AQ與BQ的斜率互為相反數，可得 ，即求得t；解法二：若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的幾何意義，點A到y軸的距離d1 ， 點B到y軸的距離d2滿足 ，即 ，化簡可得 ，同時求得t．