Question

【題目】設等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數列b1，b2，b3，b4的公差為d，且．記（i1，2，3，4）．

（1）求證：數列不是等差數列；

（2）設， ．若數列是等比數列，求b2關于d的函數關系式及其定義域；

（3）數列能否為等比數列？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）假設數列是等差數列，則，即，根據 是等差數列及 是等比數列，找出矛盾，假設不成立；（2）由， 得，根據數列是等比數列得，化簡求得，再根據，即可求得得范圍；（3）方法一：設， ， ， 成等比數列，其公比為，則，解方程組即可；方法二：假設數列是等比數列，則，化簡得，即可求得，與且矛盾，故可得證.

試題解析：（1）假設數列是等差數列，則，即．

∵ 是等差數列

∴，從而．

又∵ 是等比數列

∴．

∴，這與矛盾，從而假設不成立．

∴數列不是等差數列．

（2）∵，

∴．

∵

∴，即，

由，得.

∴且．

又∵，

∴，定義域為．

（3）方法一：

設， ， ， 成等比數列，其公比為，則

將①+③－2×②得，

將②+④－2×③得，

∵， ，由⑤得， ．

由⑤⑥得，從而．

代入①得．

再代入②，得，與矛盾．

∴， ， ， 不成等比數列．

方法二：

假設數列是等比數列，則．

∴，即．

兩邊同時減1得， ．

∵等比數列， ， ， 的公比為

∴．

又∵

∴，即．這與且矛盾.

∴假設不成立．

∴數列不能為等比數列．