Question

已知數列中,,其前項和滿足:,令
.
(1) 求數列的通項公式；
(2) 若,求證:;
(3) 令,問是否存在正實數同時滿足下列兩個條件?
①對任意,都有；
②對任意的,均存在,使得當時總有.
若存在,求出所有的; 若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) .   (2)略   (3)存在正實數符合題意.

本試題主要是考查了數列的求和和數列的通項公式的運用，不等式的證明。
（1）由得
即,移項得,
∴,這個等式疊加可得
可得結論，
（2）由(1)知,
又, ∴故相加得證。
（3）當時,
,
∴.
由2)知,即, 而此時，可見存在實數a=2滿足題意