Question

（本小題滿分12分）
設動點P到點A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，
∠APB＝2θ,且存在常數λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩
點,試確定λ的范圍,使·＝0,其中點
O為坐標原點．

Answer 1

（1）動點P的軌跡C為雙曲線，方程為：
（2）．由①②知

解法一：（1）在中，，即，
，即（常數），
點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．
方程為：．
（2）設，
①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．
即，因為，所以．
②當不垂直于軸時，設的方程為．
由得：，
由題意知：，
所以，．
于是：．
因為，且在雙曲線右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）設，，的中點為．
①當時，，
因為，所以；
②當時，．
又．所以；
由得，由第二定義得
．
所以．
于是由得
因為，所以，又，
解得：．由①②知．