Question

【題目】已知函數f(x)＝ln x－.

(1)試討論f(x)在定義域上的單調性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題得f(x)的定義域為(0，＋∞)，且.分類討論可得：當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數.當a<0時，f(x)在(0，－a]上為減函數，在(－a，＋∞)上為增函數.

(2)由(1)可知： ，分類討論：①若a≥－1，f(x)min＝f(1)，可得，不合題意；②若a≤－e，f(x)min＝f(e)，可得，不合題意；③若－e<a<－1，f(x)min＝f(－a)，可得，符合題意.

試題解析：

(1)由題得f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

當a≥0時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數.

當a<0時，由f′(x)＝0得x＝－a，由f′(x)>0得，x>－a，由f′(x)<0得，x<－a，

∴當a<0時，f(x)在(0，－a]上為減函數，在(－a，＋∞)上為增函數.

(2)由(1)可知：f′(x)＝，

①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).

②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，

此時f(x)在[1，e]上為減函數，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，當1<x<－a時，f′(x)<0，

∴f(x)在(1，－a)上為減函數；當－a<x<e時，f′(x)>0，

∴f(x)在(－a，e)上為增函數，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝a＝－.

綜上可知：a＝－.