Question

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖②所示的幾何體.

(1)求證：AB⊥平面ADC；

(2)若AC與平面ABD所成角的正切值為，求二面角B—AD—E的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明線面垂直，由條件可知，再根據面面垂直轉化為證明，再根據線面垂直判斷定理證明；

（2）由（1）可知，因為AD＝1，所以CD＝，設AB＝x(x>0)，則BD＝，因為△ABD∽△DCB，所以＝，即，求得邊長，再取過A作AOBD于O，則AO平面BDC，過O作OG//DC交BC于G，以O為坐標原點 OB，OG，OA分別為x.y.z軸非負半軸建立空間直角坐標系，利用向量的坐標法求二面角的余弦值.

(1)證明　因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥DC，DC平面BCD，

所以DC⊥平面ABD.

因為AB平面ABD，所以DC⊥AB，

又因為AD⊥AB，且DC∩AD＝D，

所以AB⊥平面ADC.

(2)解　由(1)知DC⊥平面ABD，所以∠DAC為AC與平面ABD所成角.

依題意得tan∠DAC＝＝，

因為AD＝1，所以CD＝，

設AB＝x(x>0)，則BD＝，

因為△ABD∽△DCB，所以＝，即，

解得x＝，故AB＝，BD＝.

過A作AOBD于O，則AO平面BDC，過O作OG//DC交BC于G，以O為坐標原點 OB，OG，OA分別為x.y.z軸非負半軸建立空間直角坐標系如圖所示

面ABD法向量可取

DO=，OA=

D（,0,0） A（0,0，），，

，所以 ，

設面DAE法向量為則

取

又二面角B—AD—E是銳角，所以所求二面角的余弦值為。