Question

對于函數,若存在實數對(),使得等式對定義域中的每一個都成立,則稱函數是“()型函數”.
(1) 判斷函數是否為 “()型函數”，并說明理由；
(2) 若函數是“()型函數”，求出滿足條件的一組實數對；
(3)已知函數是“型函數”，對應的實數對為，當時，，若當時,都有,試求的取值范圍.

Answer 1

（1）不是“型函數”，理由詳見解析；（2）（滿足的實數對均是正確答案）；（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）根據條件中的描述，若是“型函數”，則需存在實數，使得對于任意都成立，即，對任意都成立，這顯然是不可能的，因此假設不成立，即不是“型函數”；（2）根據條件描述，是“型函數”需存在實數對，使得對于任意都成立，即對任意均成立，故所取的實數對只需滿足等式即可，例如；
（3）根據是“型函數”可知：,即，而當時,,故當時，若有，必有當時，，因此要使當時,都有即等價于當時，恒成立，因此可以得到不等式
在上恒成立，若：顯然不等式在上成立，若：參變分離后可轉化為轉化為，顯然，當時，不等式（1）成立，而要使不等式（2）成立，
只需，通過構造函數令及，可知在上單調遞增，故，因此只需即可從而得到實數的取值范圍是.
試題解析：（1）假設是“()型函數”，則由題意存在實數對，使得對于任意都成立，即，對任意都成立，這顯然是不可能的，因此假設不成立，即不是型函數；
(2)由題意，若是“()型函數”，則,即,對任意都成立，故所求實數對只需滿足即可,如等；
(3) 由題意得:,即，而當時,, 故由題意可得，要使當時,都有，只需使當時，恒成立即可，即
在上恒成立，若：顯然不等式在上成立，若：則可將不等式轉化為，因此只需上述不等式組在上恒成立，顯然，當時，不等式（1）成立，令，則，∴在上單調遞增，∴，故要使不等式（2）恒成立，只需即可，綜上所述,所求的取值范圍是.