Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.

(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；

(2)求證：PD⊥平面PBC；

(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（Ⅰ）由已知AD∥BC，從而∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

(1)如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．

因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得AP＝，

故cos∠DAP＝＝.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.

(2)證明：由(1)知AD⊥PD.又因為BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.

(3)解：過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．

因為PD⊥平面PBC，所以PF為DF在平面PBC上的射影，

所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．

由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.

由已知，得CF＝BC－BF＝2.

又AD⊥DC，所以BC⊥DC.

在Rt△DCF中，可得DF＝2，

在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝.

所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.