Question

【題目】如圖1，在中， ， ， ， 分別為， 的中點．將沿折起到的位置，使，如圖2，連結， ．

（Ⅰ）求證：平面 平面；

（Ⅱ）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為， 分別為， 中點，所以// ．因為，所以．所以．因為，所以．又因為 = ，所以 平面，由此可以證明平面 平面；

（Ⅱ）因為， ， ，所以， ， 兩兩互相垂直．以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，得出平面的一個法向量，

設直線與平面所成角為，則,即得解.

（Ⅲ）假設線段上存在一點，使二面角的余弦值為．設， ，得出， ， .易得平面的一個法向量為，求出平面的一個法向量，則有，即，解得的值，即得解.

試題解析：

（Ⅰ）證：因為， 分別為， 中點，所以// ．

因為，所以．所以．

因為，所以．

又因為 = ，所以 平面．

又因為平面，所以平面 平面．

（Ⅱ）解： 因為， ， ，所以， ， 兩兩互相垂直．

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

依題意有， ， ， ， ， ．

則， ， ， ， ， ．

設平面的一個法向量，

則有即令得， ．所以．

設直線與平面所成角為，則．

故直線與平面所成角的正弦值為．

（Ⅲ）解：假設線段上存在一點，使二面角的余弦值為．

設， ，則，即 ．

所以， ， .

易得平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量，

則有 即令，則．

若二面角的余弦值為，

則有，即img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/09/23/10/f3ee7bee/SYS201809231026007410293450_DA/SYS201809231026007410293450_DA.133.png" width="156" height="69" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

解得， ， ．又因為，所以．

故線段上存在一點，使二面角的余弦值為，且．