Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，橢圓C上任意一點到橢圓左右兩個焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C與X軸負半軸交于點A，直線過定點（﹣1，0）交橢圓于M，N兩點，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意a=2b，

又2a=4，所以a=2，b=1

橢圓方程為

（2）解：A點坐標為（﹣2，0），直線MN過定點（﹣1，0），

∴令直線MN的方程為x=my﹣1，

聯立 ，消去x得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0，

∴ ， ，

= = ，

令t=m2+3，t≥3，

∴ ，

當且僅當t=m2+3=3即m=0時，△AMN面積的最大值為

【解析】（1）由題意a=2b，根據橢圓C上任意一點到橢圓左右兩個焦點的距離之和為4，利用橢圓的定義求出a，可得b，即可求橢圓C的方程；（2）設直線MN：x=my﹣1，聯立橢圓方程，消去x，運用韋達定理，再由△AMN面積為S= |AD||y1﹣y2|，代入化簡整理，再由對勾函數的性質，即可得到最大值．