Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.

Answer 1

2

方法一：因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥BC.又BC＝CD，
所以△ABD是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，∠DAC＝∠BAC.因為CE切圓O于點C，所以∠ECA＝∠ABC.又因為∠BAC＋∠ABC＝90°，所以∠DAC＋∠ECA＝90°，故CE⊥AD.故CD²＝DE·DA＝2×6＝12，
所以BC＝CD＝2.

方法二：如圖，連接OC，因為BO＝OA，BC＝CD，所以OC∥AD.又因為CE切圓O于點C，所以OC⊥CE，所以AD⊥CE.因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥BD.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，故∠ADB＝∠ABD，所以△ABC∽△CDE，則，所以BC·CD＝AB·DE，即BC²＝AB·DE＝6×2＝12，BC＝2.