Question

【題目】給定橢圓C： （a＞b＞0）．稱圓心在原點O，半徑為 的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F（ ，0），其短軸上的一個端點到點F的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線l1 ， l2 ， 使得l1 ， l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l1 ， l2是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，c= ， =a= ，

則b2=a2﹣c2=1，

則橢圓C的方程為 +y2=1．

其“準圓”方程為x2+y2=4

（2）解：①設P（± ，±1），則過P的直線l1：x=± ，

則l2的斜率k≠0，即它們不垂直；

②設P（m，n）（m≠± ），m2+n2=4，過P的直線為y﹣n=k（x﹣m），

聯立橢圓方程，消去y，得到

（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，

由于直線與橢圓C都只有一個交點，則△=0，

即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）3[（n﹣km）2﹣1]=0，

化簡得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，

k1k2= = =﹣1．

即l1，l2垂直．

綜上，當P在直線x= 上時，l1，l2不垂直；

當P不在直線x= 上時，l1，l2垂直

【解析】（1）由題意可得，c= ，a= ，則b2=a2﹣c2=1，從而得到橢圓方程和其“準圓”方程；（2）討論當P在直線x= 上時，顯然不垂直；當P不在直線x= 上時，設出直線方程，聯立橢圓方程，消去y，得到關于x的方程，運用判別式為0，化簡整理，得到關于k的方程，求出兩根之積，判斷是否為﹣1，即可判斷
l1 ， l2垂直．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．