Question

【題目】給定正整數(shù).將三種水果分裝在個(gè)箱子中.試求最小的正整數(shù)，使得無(wú)論水果如何分布，總可選出個(gè)箱子，它們所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

Answer 1

【答案】

【解析】

記三種水果為、、，表示第個(gè)箱子中所裝的水果的量.

考慮這樣的分布：一只箱子裝所有的水果，另一只箱子裝所有的水果，其余只箱子平均裝所有的水果.

顯然，，其中，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

下證：就是所求的最小值

首先證明一個(gè)引理.

引理 只箱子中裝有、兩種水果，單箱水果的最大值為，水果的最大值為則可將所有的箱子分為、兩組，每組只箱子，使得

，

.

證明 設(shè)

令，.則.

假定已將，，，，等分為，，

滿(mǎn)足.

不妨設(shè)，和中水果較少的為，較多的為.

令,

則

.

依此，全部只箱子分為兩組

，，且

不妨設(shè).

注意到，由原來(lái)的排序知

則.

回到原題.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)第1箱中水果最多，余下的箱中第2箱水果最多，另外箱依引理等分為、兩組.

設(shè).由，

知所裝的三種水果都不少于各自總量的一半，且其箱子數(shù)為.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先任取一箱，余下的箱同上處理，共取出箱，所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

因此，所求的在的最小值為