Question

（本小題滿分12分）已知函數y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.試求函數f(x)的解析式

Answer 1

f(x)=x+.

本題考查函數的解析式，考查函數的奇偶性，考查利用基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．
根據f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），從而可求c=0，f（x）= ，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜ ，即2b²-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函數的解析式．
∵f(x)是奇函數，∴f(－x)=－f(x),
即 ∴c="0,"
∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，
當且僅當x=時等號成立，于是2=2,∴a=b²,
由f(1)＜得＜即＜,
∴2b²－5b+2＜0,解得＜b＜2，
又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.