Question

【題目】（A）設(shè)函數(shù)， .

（1）證明：函數(shù)在上為增函數(shù)；

（2）若方程有且只有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的值.

（B）已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若存在唯一實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見解析; （2）.（B）（1）;（2）.

【解析】試題分析：（A）（1）計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并因式分解，證明因式分解后每個因子都是正數(shù)，由此判斷原函數(shù)在上為增函數(shù).（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的極大值和極小值，要使有兩個不同的實數(shù)根，則需極大值等于，由此列方程可求得的值.（B）（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，比較兩個極值點的函數(shù)值，由此判斷出是函數(shù)的最小值.（2）注意到方程的判別式大于零，有兩個不同的實數(shù)根，若存在唯一實數(shù)，使得成立，由（1）得，即，解得.

試題解析：

（A）證明：（1）的定義域為， ，

當(dāng)時，由， ，得，所以，則有函數(shù)在上為增函數(shù).

（2）令，得或.

列表如下：

				0
	正	0	負(fù)	0	正
	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

則當(dāng)時，函數(shù)有極大值，

當(dāng)時，函數(shù)有極小值，

又時， ， 時， ， 時， ，

因為方程，即有且只有兩個不同的實數(shù)根，

所以，解得（負(fù)根舍去）.

（B）（1）的定義域為，

，

令，得或，

列表如下：

				1
	正	0	負(fù)	0	正
	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

則函數(shù)在， 上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時， ，所以當(dāng)時， ，又，

所以時，函數(shù)有最小值.

（2）對于，有，則函數(shù)有兩個不同的零點，

若存在唯一實數(shù)，使得成立，由（1）得，即，解得.