Question

設是橢圓上不關于坐標軸對稱的兩個點，直線交軸于點（與點不重合），O為坐標原點.
（1）如果點是橢圓的右焦點，線段的中點在y軸上，求直線AB的方程；
（2）設為軸上一點，且，直線與橢圓的另外一個交點為C，證明：點與點關于軸對稱.

Answer 1

（1）直線（即）的方程為或；（2）詳見解析．

試題分析：（1）由已知條件推導出點的坐標為，由此能求出直線（即）的方程．（2）設點關于軸的對稱點為（在橢圓上），要證點與點關于軸對稱，只要證點與點C重合，又因為直線與橢圓的交點為C（與點不重合），所以只要證明點，，三點共線即可．
（1）橢圓的右焦點為，                                 1分
因為線段的中點在y軸上，              
所以點的橫坐標為，                                
因為點在橢圓上，
將代入橢圓的方程，得點的坐標為.              3分
所以直線（即）的方程為或.     5分
（2）設點關于軸的對稱點為（在橢圓上），
要證點與點關于軸對稱，
只要證點與點C重合，.
又因為直線與橢圓的交點為C（與點不重合），
所以只要證明點，，三點共線.                                7分
以下給出證明：
由題意，設直線的方程為,,，則.
由
得 ，                             9分
所以 ，
，.                        10分
在中，令，得點的坐標為，
由，得點的坐標為，                      11分
設直線，的斜率分別為，，
則  ，   12分
因為 

 
，                     13分
所以 ，所以點，，三點共線，即點與點關于軸對稱.       14分