Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若且，.

（i）求實數的最大值；

（ii）證明不等式：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出導函數，再根據，由點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）（i）等價于 ，討論時、當時兩種情況，排除不合題意的的值，即可得實數的最大值，（ii）當時整理得，令，則，進而可證原不等式.

試題解析：（1）由題意且，

∴，

又，

∴在點處的切線方程為即

（2）（i）由題意知，

設，

則，

設，

則，

（1）當時，∵，∴，

∴在上單調遞增，又，

∴時，，又，

∴，不符合題意.

（2）當時，設，

①若，即時，恒成立，

即在恒成立，∴在上單調遞減又，

∴時，，，，

時，，，，符合題意.

②若，即時，的對稱軸，

∴在上單調遞增，

∴時，，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，

而，∴，不符合題意，

綜上所述.

（ii）由（i）知時，，

當時整理得，

令，則，

∴，

∴，

∴，

即