Question

（08年寶雞市質檢二理）  在直角坐標系中，已知定點F(1,0)設平面上的動點M在直線上的射影為N，且滿足.

    （1）求動點M的軌跡C的方程；

    （2）若直線l是上述軌跡C在點M（頂點除外）處的切線，證明直線MN與l的夾角等于直線ME與l的夾角;

    （3）設MF交軌跡C于點Q，直線l交x軸于點P，求△MPQ面積的最小值.

 

Answer 1

解析：（1）由題意，易知動點在y軸上及右側（x≥0）.

    且記它在x = -1上的射影為N'，∵|MN| =|MF|+1，∴|MN'| = |MF|，∴動點M的軌跡是以F（1，0）為焦點，以直線x = -1為準線的拋物線，.

（2），設l與MN夾角為，l與M夾角為由于拋物線C關于x軸對稱，不妨設 

（解法1）當時，，從而∴直線l的斜率.   又直線MF的斜率，

   

（解法2）設直線l的方程為

    將直線方程代入拋物線方程并整理得

   

    整理得

    又

   

    又由于直線的斜率

    . ∴l為∠FMN的平分線.

（3）設則.

    直線l的方程為，令得P點坐標

   

    ，

    令得時，