Question

設函數（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為，求a，b的值．

Answer 1

解：（1）由，所以當a=b=1時，
則=-3（x²-1）．
在（0，1）內，，在（1，2）內，，
所以在（0，1）內，為增函數，在（1，2）內為減函數．
則f₃（x）的極大值為f₃（1）=3，由f₃（0）=1，．
所以函數在[0，2]上的最大值為f₃（1）=3，最小值為f₃（2）=-1；
（2）因為對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，從而有|（-1+3a+b）-（1-3a+b）|=|6a-2|≤1，
所以．
又=-3（x²-a），
在內f^′₃（x）0，
所以f₃（x）在內為減函數，
f₃（x）在內為增函數，
只需，則
即，解得：．
所以a的取值范圍是．
（3）．
由f₄（x）在[-1，1]上的最大值為，則，
所以，即①
，即②
①+②得，，又因為，所以，所以．
將代入①得：，
將代入②得：≤a≤0．
所以a=0．
綜上知a，b的值分別為0，．
分析：（1）把a，b的值代入函數解析式求出，求導后利用導函數的零點將（0，2）分段，由單調性判出極值點，求出極值，再求出端點值，則f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值可求；
（2）根據對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，說明當x取兩個特殊值-1和1時|f₃（1）-f₃（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范圍，然后把原函數f₃（x）求導，得到導函數的兩個零點為，再求出函數f₃（x）在（-1，1）上的極大值和極小值，再由極大值和極小值差的絕對值小于等于1求出a的取值范圍，和由|f₃（1）-f₃（-1）|≤1求出的a的范圍取交集即可；
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為，則x取-1和1時的函數值都在和之間，聯立解出b的范圍，再由x取0時的函數值也在和之間，得到b的范圍，兩者結合即可求出b的值，把b的值代入x取-1和1時的式子，即可得到a的值．
點評：本題考查了利用導數研究函數的最值，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵是特值化思想的應用，求具體參數的值時運用了“兩邊夾”的思想方法，屬有一定難度題．