Question

已知向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))；　令f(x)=(

a

+

b

)2，
（1）求f（x）解析式及單調遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

6

，

5π

6

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=

5

2

，求sin(x-

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))，知f(x)=(

a

+

b

)2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=cos2

3x

4

+sin2

3

4

x+cos2(

x

4

+

π

3

)+sin2(

x

4

+

π

3

)+2[cos

3x

4

cos(

x

4

+

π

3

)-sin

3x

x

sin(

x

4

+

π

3

)]，由此能求出f（x）解析式及單調遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=2+2cos（x+

π

3

），x∈[-

π

6

，

5π

6

]，知

π

6

≤x+

π

3

≤

7π

6

，由此能求出f（x）=2+2cos（x+

π

3

）的最大值和最小值．
（3）由f（x）=

5

2

，知f(x)=2+2cos(x+

π

3

)=

5

2

∴cos(x+

π

3

)=

1

4

，由此能夠求出sin(x-

π

6

)的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))，
∴f(x)=(

a

+

b

)2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=cos2

3x

4

+sin2

3

4

x+cos2(

x

4

+

π

3

)+sin2(

x

4

+

π

3

)+2[cos

3x

4

cos(

x

4

+

π

3

)-sin

3x

x

sin(

x

4

+

π

3

)]
=2+2cos（x+

π

3

），
增區(qū)間是：-π+2kπ≤x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，
∴-

4π

3

+2kπ≤x≤-

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）解析式為f（x）=2+2cos（x+

π

3

），
單調遞增區(qū)間是[-

4π

3

+2kπ，-

π

3

+2kπ]，k∈Z．
（2）∵f（x）=2+2cos（x+

π

3

），x∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

π

6

≤x+

π

3

≤

7π

6

，
∴當x+

π

3

=

π

6

時，f（x）=2+2cos（x+

π

3

）有最大值2+

3

；
當x+

π

3

=

7π

6

時，f（x）=2+2cos（x+

π

3

）有最小值2-

3

．
（3）∵f（x）=

5

2

，∴f(x)=2+2cos(x+

π

3

)=

5

2

∴cos(x+

π

3

)=

1

4

，
所以sin(x-

π

6

)=-sin(

π

6

-x)=-cos(x+

π

3

)=-

1

4

．

點評：本題考查平面向量的綜合應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數(shù)恒等式的靈活運用，合理地進行等價轉化．