Question

【題目】已知函數對任意，都有，且時，.

(1)求證是奇函數；

(2)求在上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析，(2)6，-6.

【解析】

（1）根據任意，都有，利用賦值法構造奇偶性判斷的定義即可證明；（2）根據已知利用賦值法構造單調性的定義判斷后，即可求在上的最大值和最小值．

(1)證明　令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數．

(2)解　任取x1＜x2，則x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.

所以f(x)為減函數．

而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.

所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.