【題目】已知函數
.
（1）當
時，求函數
的極值；
（2）討論函數的單調性；
（3）若對
，
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）極大值
，無極小值（2）答案不唯一，具體見解析（3）
【解析】
（1）對函數
進行求導、列表、判斷函數的單調性，最后根據函數極值的定義進行求解即可；
（2）對函數進行求導，根據實數
的正負性，分類討論判斷導函數的正負性，進行判斷單調性即可；
（3）對
進行常變量分離，然后構造新函數，對新函數進行求導，判斷其單調性，進而求出新函數的最值，最后根據題意求出的取值范圍即可.
解：（1）
.令
，得
.
|
|
|
|
| 正 | 0 | 負 |
| 單調增大 | 極大值 | 單調減少 |
所以在
上單調遞增，
上單調遞減，
所以函數的極大值為：
，無極小值；
（2）
，
當
時，
，∴在
單調遞增，
當
時，若
，，∴在
單調遞增；
若
，
，∴在
單調遞減；
綜上，當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.
（3）對
，恒成立，
對，
恒成立
，令
，
.
當
時，
，
單調遞增；
當
時，
，單調遞減，
所以
，因此.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
不與坐標軸垂直，且與拋物線
有且只有一個公共點
.
（1）當點的坐標為
時，求直線的方程；
（2）設直線與
軸的交點為
，過點且與直線垂直的直線
交拋物線
于
，
兩點.當
時，求點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條線段的公共點為O，釘尖為
．
⑴設
，當
，
，
在同一水平面內時，求
與平面
所成角的大小
結果用反三角函數值表示
．
⑵若該“釘”的三個釘尖所確定的三角形的面積為
，要用某種線型材料復制100枚這種“釘”損耗忽略不計，共需要該種材料多少米？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中常數
（1）當
時，討論
的單調性
（2）當
時，是否存在整數
使得關于
的不等式
在區間
內有解？若存在，求出整數的最小值；若不存在，請說明理由.
參考數據：
，
，
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從2016年到2019年的某城市方便面銷量情況如圖所示：
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
時間代號 | 1 | 2 | 3 | 4 |
年銷量 | 462 | 444 | 404 | 385 |
（1）根據上表，求
關于
的線性回歸方程
．用所求回歸方程預測2020年（
）方便面在該城市的年銷量；
（2）某媒體記者隨機對身邊的10位朋友做了一次調查，其中3位受訪者認為方便面是健康食品．現從這10人中抽取3人進行深度訪談，記
表示隨機抽取的3人認為方便面是健康食品的人數，求隨機變量的分布列及數學期望
．
參考公式：回歸方程：，其中
，
．
參考數據：
．
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